Lecture: Global Dynamics of 4D Ricker Maps
在多物种竞争与种群生物学模型中，高维离散映射（Discrete Maps）展现出了极为丰富的分岔行为与混沌流形结构。本文针对经典 4维 Ricker 系统 的控制参数进行连续演化模拟，演示由准周期闭环 (Invariant Curve) 逐步经过倍周期分岔演化至混沌吸引子的完整过程。
系统的四维非线性自治离散映射公式定义如下：
$$\begin{aligned} T_1(x) &= x_1 \exp\left(0.178(1 – 1.821x_1 – 0.898x_2 – 0.774x_3 – 3.542x_4)\right) \\ T_2(x) &= x_2 \exp\left(0.222(1 – 0.912x_1 – 2.289x_2 – 0.0032x_3 – 6.641x_4)\right) \\ T_3(x) &= x_3 \exp\left(0.105(1 – 2.321x_1 – 0.994x_2 – 1.507x_3 – 0.0669x_4)\right) \\ T_4(x) &= x_4 \exp\left(r(1 – 0.0425x_1 – 3.541x_2 – 1.691x_3 – 2.342x_4)\right) \end{aligned}$$
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x₄:
图 1: 4维 Ricker 离散系统的 3D 相空间投影动态映射与混沌吸引子演化
通过调节上述系统的增长率参数 $r$，我们可以清晰地观察到相轨迹在四维高维空间中的拓扑破裂过程。下面展示了不同参数对应下的数字收敛残差与分岔特征说明：
表 1: 不同增长参数 $r$ 下 4D Ricker 系统的动力学状态对比
| 预设分岔点 | 参数 $r$ 赋值 | 动力学拓扑特征 (Topological Phase) | Lyapunov 指数趋势 |
|---|---|---|---|
| 图 (g) | $0.0462$ | 不透明封闭不变曲线 (Invariant Curve) | $\lambda_1 = 0$ |
| 图 (h) | $0.0483$ | 准周期倍周期分岔曲线 (Period-Doubling) | $\lambda_1 = 0$ |
| 图 (i) | $0.0498$ | 带孔极高的分岔混沌吸引子 (Chaotic) | $\lambda_1 > 0$ |
| 图 (j) | $0.0610$ | 完全展开的高维深层混沌吸引子 (Deep Chaos) | $\lambda_1 \gg 0$ |